Voir et comprendre: de l’importance de la visualisation dans la compréhension des entités mathématiques

Il n’a sans doute échappé à personne que, dans la plupart des analyses statistiques ou raisonnements mathématiques employés en sciences humaines, les chercheurs utilisaient des outils éminemment visuels. La tradition veut que nos articles fourmillent d’histogrammes, de courbes ou de camemberts, mais aussi de visualisations plus sophistiquées: analyses factorielles,  représentations de réseaux, cartes de Kohonen, ou même cardiogrammes, pour reprendre un exemple dont nous parlions dans un billet récent. Pourtant, il n’existe bien souvent aucune raison a priori pour matérialiser nos raisonnements par des graphiques.  Pourquoi donc alors cette tendance ? Ferions-nous cela uniquement pour rendre nos articles visuellement attrayants ? Aimerions nous donner de grands airs en égrenant les visualisations les plus improbables ? Ou serions-nous simplement trop mauvais pour manier de « vrais » objets mathématiques ?

Déjà entendues de la bouche de collègues sceptiques, ces accusations ne sont pas forcément toujours complètement imméritées. Elles nécessitent néanmoins une réponse. A défaut de rentrer dans un grand élan théoricisant sur la portée heuristique de la visualisation, je vous propose une petite expérience, glanée dans le cours intitulé Street Fighting Mathematics professé par Sanjoy Mahajan au Massachussets Institute of Technology.

La somme des n premiers entiers impairs : preuve par récurrence

                 Un théorème mathématique bien connu stipule que la somme des n premiers entiers impairs est égal à . Comment le démontrer ? La solution standard est de démontrer ce fait par récurrence.

  • Pour n=1 : la propriété est trivialement vérifiée (1=1²)
  • Supposons la propriété vraie pour n, soit :

1n (2k-1) = n²

L’est-elle toujours pour n+1 ?

1n+1 (2k-1) = 2n +1 + ∑1n (2k-1) = 2n +1 + n²

Et donc, d’après notre hypothèse de

1n+1 (2k-1)=  2n +1 + n² = (n+1)²

                La propriété étant vraie pour n=1, est vraie pour n+1 si elle est vraie pour n, elle est vraie pour tout n. CQFD

                Cette démonstration est en effet d’une simplicité enfantine. Il n’empêche qu’elle ne nous donne aucune intuition sur le mécanisme qui fait que la somme des premiers entiers impairs est égal au carré du nombre de termes de cette somme.  La démonstration est rigoureuse, juste, simple – mais elle n’est pas particulièrement convaincante…

La somme des n premiers entiers impairs : « preuve » visuelle

Représentons maintenant notre problème graphiquement. Nous dessinons un puzzle, dans lequel on matérialise chaque nombre entier n par une série de n carrés de côté 1. Chaque terme de notre somme d’entiers impairs ajoute un morceau en forme de L à notre puzzle. Chaque pièce supplémentaire du puzzle étend le carré d’une unité de chaque côté.

 

On forme ainsi un carré dont le côté est augmenté d’une unité à chaque fois qu’on ajoute un terme à la somme. L’aire de ce carré de côté n×1=n est donc n×n = .

Vu sous cet angle, le carré ci-dessus à l’appui, notre problème devient aisément compréhensible, et on ne peut que se souvenir de son résultat…

C’est simplement ce genre d’effets, au-delà de toutes raisons stratégiques ou décoratives, que nous recherchons en proposant à nos lecteurs un support visuel à nos raisonnements et à nos résultats…


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