Observez l’inobservable: la magie des proxys

Pour les spécialistes d’époques lointaines, ou pour ceux qui s’intéressent à une histoire plus récente, mais néanmoins troublée, il n’est pas rare de ne disposer que d’une information lacunaire sur tel ou tel point ou période que l’on voudrait étudier. De ce fait, les bases de données que nous utilisons sont régulièrement entachées de vides, de « . », ou de « NC », mentions aussi disgracieuses qu’agaçantes. Souvent, il n’y a cependant pas de quoi s’alarmer: si les valeurs manquantes sont réparties aléatoirement dans la base de données, on peut poursuivre notre étude sans dangers. Si quelques passages d’un texte ont été effacées par-ci par-là, selon les caprices du temps et de l’encre, pas d’inquiétude. Si un fonctionnaire peu scrupuleux a oublié de noter de temps en temps une valeur dans les tables qu’il se devait de remplir, aucun souci. Mais que faire lorsque ces informations manquantes ne sont pas le fruit du hasard ? S’il manque un passage entier dans nos données, ou une séries de valeurs ayant une cohérence particulière, tous nos calculs ultérieurs s’en trouvent faussés. Comment alors combler ces manques ? On propose ici d’étudier rapidement une méthode classique face à ce genre de défaillances de nos connaissances: l’usage de « proxys ».

Définition d’une proxy

Bien entendu, les proxys dont nous parlons ici n’ont rien à voir avec les serveurs intermédiaires que vous utilisez pour accélérer ou sécuriser votre navigation web. Une proxy est en fait une variable particulièrement étroitement corrélé à une variable d’intérêt, quelque soit d’ailleurs la nature de cette corrélation. Son utilité est évidente: quand on ne peux plus observer notre variable d’intérêt, faute de données, on utilise sa variable proxy, dont on connaît le lien avec notre variable d’intérêt.

Supposons ainsi que je m’intéresse à l’histoire des famines dans une région donnée, et que je ne peux plus observer pendant un temps la production de blé – suite à une période de trouble, les taxes sont mal collectées, et la production plus mal mesurée que d’habitude. Comment puis-je faire pour continuer à observer l’évolution de cette production ? Pour ce faire, je vais tester la corrélation entre cette variable d’intérêt, la production de blé, et les autres variables que j’ai à ma disposition: conditions météorologiques, prix du pain, etc. Si je réussis à établir une relation régulière dans le temps entre l’une de ces variables et la production de blé, je vais pouvoir déduire la valeur de cette production pendant mon époque trouble grâce à l’autre variable que j’observe encore.  Si je peux par exemple établir qu’il existe une relation du type:

production de blé au temps t = f (prix du pain au temps t+1)

alors, je pourrais, quand me manquent des valeurs de la production de blé, calculer f(prix du pain en t+1) et estimer la production de blé en t. On dit alors que le prix du pain est un proxy de la production de blé.

Condition d’utilisation

Quelles sont les conditions pour pouvoir utiliser sans danger une telle variable à la place d’une autre ? Pour mieux s’en rendre compte, plaçons nous dans un cas simple, où nous essayons d’utiliser une variable inobservable dans une régression linéaire simple. On cherche à tester le modèle suivant:

Y = β0 + β1 x1+ β2 x2 + ε

où x2 est une variable inobservable, les autres variables étant elles observées, ε étant classiquement le résidu. Heureusement, nous avons des données concernant une variable a priori sans intérêt, mais en réalité fortement corrélée à notre insaisissable variable x2. Cette variable salvatrice, que nous appellerons s, vérifie en effet assez bien, d’après nos estimations, la relation:

x2= α0 + α1 s + ε2

En remplaçant dans notre première équation, on obtient:

Y= β0 + β1 x1+ β20 + α1 s + ε2) + ε

Ce qui se développe trivialement en:

Y= β0 + β1 x1+ β2 α0 + β2α1 s +  β2 ε2 + ε

Les alphas et les betas étant des coefficients réels, on peut les regrouper sans danger. En posant γ0= β0 + β2 αet γ1 = β2α1, on réécrit notre modèle sous la forme:

Y= γ0 + β1 x1 + γ1 s + β2 ε2 + ε

Le seul problème qui peut alors émerger vient du résidu ε2 , qui, s’il est par malheur corrélé à x1, va marquer notre modèle du sceau malin de l’hétéroscédasticité. Sous réserve de la vérification simple de la non-corrélation entre variable(s) explicative(s) du modèle original et résidu du modèle décrivant la relation entre variable d’intérêt et proxy, on peut donc remplacer sans danger notre variable originale inobservable par son proxy dans nos calculs.


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